В этой статье мы выведем уравнения для преобразования эклиптических координат планеты в экваториальные координаты и обратно. Эти преобразования необходимы для расчета первичных дирекций - древнейшей техники прогнозирования событий.
[toc]
Обозначения
Во-первых, давайте определимся с терминами. Мы будем обозначать
- Небесную широту и долготу буквами $\lambda$ и $\delta$
- Экваториальные координаты - прямое восхождение и склонение через $RA$ и $D$
- Наклон эклиптики буквой $\epsilon$
Вращение координат
Обозначим вектор (указатель на наблюдаемую планету) в буквой $\vec{v}$. Тогда сферические координаты этого вектора в эклиптической системе координат будут
$$ \vec{v} = (\lambda, \delta) $$
Декартовы координаты того же вектора, согласно уравнению (2) будут равны
$$ \begin{aligned} \vec{v} &= \cos\delta\cos\lambda~\vec{X_{ecl}} \\ & + \cos\delta\sin\lambda~\vec{Y_{ecl}} \\ & + \sin\delta~\vec{Z_{ecl}} \end{aligned} $$
Здесь мы положили $R$ (радиус небесной сферы) равным 1 для простоты. Ось $X_{ecl}$ направлена в 0° Овна, ось $Y_{elc}$ - в 0° Рака, ось $Z_{ecl}$ - в северное небесное полушарие.
Экваториальная плоскость наклонена под углом $-\epsilon$ относительно плоскости эклиптики в плоскости $Y_{ecl}Z_{ecl}$.
Мы можем использовать матрицу вращения, которую мы ввели ранее, подставив ($-\sin\epsilon$) вместо $\sin(-\epsilon)$.
$$\mathbf{A}_{YZ} = \left[\begin{array} {rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\epsilon & -\sin\epsilon \\ 0 & \sin\epsilon & \cos\epsilon \end{array}\right] $$
Это дает нам декартовы координаты вектора $\vec{v}$ в экваториальной системе координат:
$$ \begin{cases} x_{eq} = \cos\delta\cos\lambda \\ y_{eq} = \cos\epsilon\cos\delta\sin\lambda - \sin\epsilon\sin\delta \\ z_{eq} = \sin\epsilon\cos\delta\sin\lambda + \cos\epsilon\sin\delta \end{cases} $$
Из уравнения преобразования (1) следует, что
$$ \begin{cases} \tan(RA) = y_{eq} / x_{eq} \\ \sin(D) = z_{eq} \end{cases} $$
Это дает нам окончательные уравнения для преобразования $(\lambda, \delta)\rightarrow(RA, D)$:
Обратное преобразование
Для обратного преобразования мы меняем $\epsilon$ на $(-\epsilon)$. Это дает нам следующее:
